cho hàm số y= (mx^2+x+m)/mx+1 ( m là tham số ). Giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+oo)

Đáp án: $0\le m\le 1$

Giải thích các bước giải:

Để hàm số đồng biến trên $(0,+\infty)$

$\to mx+1\ne 0,\quad\forall x\in (0,+\infty)$

$\to m\ne-\dfrac1x,\quad\forall x\in (0,+\infty)$

$\to m\ge 0(1)$

Ta có:

$y=\dfrac{mx^2+x+m}{mx+1}$

$\to y=\dfrac{x(mx+1)+m}{mx+1}$

$\to y=x+\dfrac{m}{mx+1}$

$\to y'=1+\dfrac{-m^2}{(mx+1)^2}$

$\to y'=\dfrac{(mx+1)^2-m^2}{(mx+1)^2}$

Để hàm số đồng biến trên $(0,+\infty)$

$\to y'\ge 0,\quad\forall x\in (0,+\infty)$

$\to \dfrac{(mx+1)^2-m^2}{(mx+1)^2}\ge 0,\quad\forall x\in (0,+\infty)$

$\to (mx+1)^2-m^2\ge 0,\quad\forall x\in (0,+\infty)$

$\to (mx+1-m)(mx+1+m)\ge 0,\quad\forall x\in (0,+\infty)$

$\to mx+1-m\ge 0$ vì $m\ge 0$

$\to mx\ge m-1$

$\to x\ge \dfrac{m-1}{m}$

$\to \dfrac{m-1}{m}\le 0$ vì $x\ge 0$

$\to m-1\le 0$ vì $m\ge0$

$\to m\le 1$

$\to 0\le m\le 1$