cho hàm số y=f(x) thoả mãn f'(x)*f(x)=x^4+x^2. Biết f(0)=2 Tính f^2(2)

Xét phương trình

$f'(x) . f(x) = x^4 + x^2$

$\Leftrightarrow \dfrac{df(x)}{dx} f(x) = x^4 + x^2$

$\Leftrightarrow f(x) df(x) = (x^4 + x^2)dx$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có

$\displaystyle\int f(x) df(x) =\displaystyle \int (x^4 + x^2) dx$

$\Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2} = \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^3}{3} + c$

$\Leftrightarrow f^2(x) = \dfrac{2x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + c$

$\Leftrightarrow f(x) = \sqrt{\dfrac{2x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + c}$

Do $f(0) = 2$ nên ta có

$f(0) = \sqrt{0 + 0 + c}$

$\Leftrightarrow 2 = \sqrt{c}$

Vậy $c = 4$

Do đó

$f(x) = \sqrt{\dfrac{2x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + 4}$

Do đó

$f(2) = \sqrt{\dfrac{64}{5} + \dfrac{16}{3} + 4}$

$\Leftrightarrow f(2) = \sqrt{\dfrac{332}{15}}$

$\Leftrightarrow f^2(2) = \dfrac{332}{15}$