Cho hàm số y =f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn 0;2 thỏa f (0)= 3 và f(x).f'(x)= căn ( 4-x^2). Tính f^2(2)

Giải thích các bước giải:

Ta có :
$f(x).f'(x)=\sqrt{4-x^2}$ 

$\to \int f(x).f'(x)dx=\int\sqrt{4-x^2}dx$ 

$\to \int f(x)d(f(x))=2\arcsin \left(\dfrac{1}{2}x\right)+\sin \left(2\arcsin \left(\dfrac{1}{2}x\right)\right)+c$ 

$\to \dfrac{f^2(x)}{2}=2\arcsin \left(\dfrac{1}{2}x\right)+\sin \left(2\arcsin \left(\dfrac{1}{2}x\right)\right)+c$ 

Vì $f(0)=3$

$\to \dfrac{f^2(0)}{2}=2\arcsin \left(\dfrac{1}{2}.0\right)+\sin \left(2\arcsin \left(\dfrac{1}{2}.0\right)\right)+c=c$ 

$\to c=3$

$\to \dfrac{f^2(x)}{2}=2\arcsin \left(\dfrac{1}{2}x\right)+\sin \left(2\arcsin \left(\dfrac{1}{2}x\right)\right)+3$ 

$\to \dfrac{f^2(2)}{2}=\pi+3$ 

$\to f^2(2)=2\pi+6$