Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x)=x ^2018(2x+3)(x ² + 2mx+4). Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số y=f(x ²) có đúng một điểm cực trị

Đáp án: Có 1 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn (m = -1)

Giải thích các bước giải:

Ta có: f'($x^{2}$) = 2.x.$(x^{2})^{2018}$.(2$x^{2}$+3).($x^{4}$+2m$x^{2}$+4)

                            = 2.$x^{4037}$.(2$x^{2}$+3).($x^{4}$+2m$x^{2}$+4)

Ta thấy f'($x^{2}$) = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x^{4}$+2m$x^{2}$+4 = 0

Để hàm số y = f($x^{2}$) có đúng một điểm cực trị thì phương trình:

$x^{4}$+2m$x^{2}$+4 = 0 (*) vô nghiệm

Đặt a = $x^{2}$ thì (*) trở thành $a^{2}$+2ma+4 = 0 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm

⇔  \(\left[ \begin{array}{l}Δ<0\\\left \{ {{Δ≥0} \atop {-2m<0}} \right.\end{array} \right.\) 

⇔  \(\left[ \begin{array}{l}4m^{2}<16\\\left \{ {{4m^{2}≥16} \atop {m>0}} \right.\end{array} \right.\)

mà m cần tìm là số nguyên âm ⇒ chỉ có m=-1 thỏa mãn.