Cho hàm số y= $\frac{ax+b}{x^2+1}$ ; a,b ∈Z ; có tập giá trị là T. Tìm a,b để T có đúng 6 giá trị nguyên

Đáp án:

Ta có: $\dfrac{b+\sqrt{a^2+b^2}}2\leqslant y\leqslant \dfrac{b-\sqrt{a^2+b^2}}2$

$\to \min_{\mathbb R}y=\dfrac{b-\sqrt{a^2+b^2}}2; \max_{\mathbb R}y=\dfrac{b+\sqrt{a^2+b^2}}2$

Do T có đúng 6 giá trị nguyên

$\to \max_{\mathbb R}y-\min_{\mathbb R}y=5$

$\to \sqrt{a^2+b^2}=25$

$\to a^2=16; b^2=9$

$\to a=\pm 4; b=\pm 3$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$y = \frac{ax + b}{x² + 1}; a, b ∈ Z$

$⇔ yx² + y = ax + b$

$⇔ yx² - ax + y - b = 0$

Xem (*) là PT bậc 2 đối với x, để PT (*) có nghiệm thì y phải thỏa:

$Δ = (-a)² - 4y(y - b) = a² - 4y² + 4by = a² + b² - 4y² + 4by - b² = a² + b² - (2y - b)² ≥ 0$

$⇔ (2y - b)² ≤ a² + b² ⇔ - \sqrt[]{a² + b²} ≤ 2y - b ≤ \sqrt[]{a² + b²} ⇔ \frac{b - \sqrt[]{a² + b²}}{2} ≤ y ≤ \frac{b + \sqrt[]{a² + b²}}{2}$

$ ⇒ ymin = \frac{b - \sqrt[]{a² + b²}}{2} ; ymax = \frac{b + \sqrt[]{a² + b²}}{2}$

$ ⇒ \frac{ ymin + ymax}{2} = b/2$

@ Nếu $b = 2k (k ∈ Z) ⇒ T = [ymin; ymax]$ chứa số lẻ giá trị nguyên, với k là giá trị trung bình ⇒ không thỏa yêu cầu bài toán

@ Nếu $b = 2k + 1 (k ∈ Z) ⇒ T = [ymin; ymax]$ chứa số chẵn giá trị nguyên.

Để T có đúng $6$ giá trị nguyên thì : $ymax - ymin = \sqrt[]{a² + b²} = 5$

$ a² + b² = 25 ⇒ a² = 0; b² = 25; a² = 16; b² = 9 $ (do b lẻ)

⇒ Có 6 cặp $(a; b)$ thỏa là:

$(0; - 5); (0; 5); (- 4; -3); (4; -3); (- 4; 3); (4; 3)$