Cho hàm số: `y=2x³ -3(3m -1)x² +6(2m² -m)x +3`. Tìm tổng các giá trị của m để HSNB trên đoạn có độ dài `=4`.

Đáp án:

 `2`

`text()`

Giải thích các bước giải:

`+` Ta có: `y ′ = 6 x ^2 − 6 ( 3 m − 1 ) x + 6 ( 2 m ^2 − m ) .`

`y ′ = 0 ⇔ y ′ = x^ 2 − ( 3 m − 1 ) x + ( 2 m^2−m)=0 .`

`+` Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4`

`⇒y′≤0∀x∈[x_1;x_2]⇒y′≤0∀x∈[x_1;x_2]` thỏa mãn `|x_1−x_2|=4`

`⇔` $\begin{cases} Δ = ( 3 m − 1 ) ^2 − 4 ( 2 m ^2 − m ) > 0\\(x_1+x_2)^2−4x_1x_2=16\end{cases}$`(I)`

`+` Theo định lí Vi-ét ta có `:` $\begin{cases} x_1+x_2=3m-1\\x_1x_2=2m^2-m\end{cases}$

`(I)⇔` $\begin{cases} 9 m^ 2 − 6 m + 1 − 8 m ^2 + 4 m > 0\\( 3 m − 1 )^ 2 − 4 ( 2 m ^2 − m ) = 16\end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} m ^2 − 2m + 1 > 0\\m ^2 − 2m + 1 = 16\end{cases}$`⇔ m^ 2 − 2 m − 15 = 0`

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m_1=5\\m_2=-3\end{array} \right.\) 

     `⇒` Tổng các giá trị của `m` để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4` là `:`

`m_1+m_2=5+(-3)=2`

     Vậy tổng các giá trị của `m` để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4` là `:` `2`

Đáp án:

$\sum m = 2$

Giải thích các bước giải:

$\quad y = 2x^3 - 3(3m-1)x^2 + 6(2m^2 - m)x + 3$

$\to y' = 6x^2 - 6(3m-1)x + 6(2m^2 - m)$

Hàm số có khoảng nghịch biến

$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow 9(3m-1)^2 - 36(2m^2 - m) >0$

$\Leftrightarrow (m-1)^2 >0$

$\Leftrightarrow m\ne 1$

Với $x_1; x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số

$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 3m - 1\\x_1x_2 = 2m^2 - m\end{cases}$

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $4$

$\Leftrightarrow |x_1 - x_2| = 4$

$\Rightarrow (x_1 - x_2)^2 = 16$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 16$

$\Leftrightarrow (3m-1)^2 - 4(2m^2 - m) = 16$

$\Leftrightarrow (m-1)^2 = 16$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m - 1 = 4\\m - 1 = -4\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m  = 5\\m  = -3\end{array}\right.$ (nhận)

$\Rightarrow \sum m = 2$