Cho hàm số y=2$x^{3}$ - 3(m+1)$x^{2}$ + 6mx + $m^{3}$ . Tìm m để hàm số có 2 cực trị A và B sao cho tam giác ABC vuộng tại C(4;0)

Đáp án:

$m = -1$

Giải thích các bước giải:

$y = f(x)=2x^3 - 3(m+1)x^2 + 6mx + m^3$

$TXD: D = \Bbb R$

$y' = f'(x) = 6x^2 - 6(m+1)x + 6m$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - (m+1)x + m = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 1\\x = m\end{array}\right.$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow m \ne 1$

Khi đó, hàm số có hai điểm cực trị $A(1;m^3 + 3m - 1);\ B(m;3m^2)$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{CA} = (-3;m^3 +3m - 1)\\\overrightarrow{CB} = (m-4;3m^2)\end{cases}$

$\triangle ABC$ vuông tại $C\Leftrightarrow \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 0$

$\Leftrightarrow -3(m-4) + 3m^2(m^3 + 3m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (m+1)(m^4 -m^3 +4m^2-5m + 4) =0$

$\Leftrightarrow m = -1$ (nhận)

Vậy $m = -1$