Cho hàm số `y= -1/4 x⁴ +x³ -4x +1`. Lập bảng biến thiên a, Xét tính đơn điệu của hàm số b, Tìm cực trị của hàm số c, Tìm GTLN, GTNN.

Giải thích các bước giải:

$a)y=-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-4x+1\\ y'=-x^3+3x^2-4\\ y'=-x^3-x^2+4x^2+4x-4x-4\\ =-x^2(x+1)+4x(x+1)-4(x+1)\\ =(x+1)(-x^2+4x-4)\\ =-(x+1)(x-2)^2\\ y'=0 \Leftrightarrow x=-1,x=2\\ BBT:\\ \begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x&-\infty&&&-1&&2&&\infty\\\hline y'&&+&&0&-&0&-&\\\hline &&&&\dfrac{15}{4}\\y&&&\nearrow&&\searrow&\\&&&&&&-3\\&&\nearrow&&&&&\searrow&\\&-\infty&&&&&&&-\infty\\\hline\end{array}$

$a')$Dựa vào BBT, hàm số đồng biến trên  khoảng: $(-\infty;-1)$, nghịch biến trên khoảng $(-1;+\infty)$

$b)$Hàm số đạt cực đại bằng $\dfrac{15}{4}$ tại $x=-1$

$c)$Hàm số có GTLN bằng $\dfrac{15}{4}$ tại $x=-1$, không có GTNN