Cho hàm số y=1/3x^3- (m-1)×x^2+(3m-5)×x+2m-1 tìm m để hàm số đồng biếnvoiws mọi x thuộc trong khoảng 2 đến vô cùng

Đáp án:

 \(m \leq 3\)

Giải thích các bước giải:

 TXĐ: D=R

\(y'=x^{2}-2(m-1)x+3m-5\)

Để hàm số đồng biến \((2;+\infty)\):

\(y' \geq 0\) \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\) (Do hàm số liên tục tại \(x=2\))

\(\Leftrightarrow x^{2}-2mx+2x+3m-5 \geq 0\) \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\)

\(\Leftrightarrow m(2x-3) \leq x^{2}+2x-5\) \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\)

\(\Leftrightarrow m \leq \dfrac{x^{2}+2x-5}{2x-3}=h(x)\) \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\)

\(\Leftrightarrow m \leq min_{hx}\) \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\)

\(h'(x)=\dfrac{2x^{2}-6x+4}{(2x-3)^{2}}\) 

Cho \(h'(x)=0 \Rightarrow x=1; x=2\)

Vậy \(m \leq 3\)

$y'=x^2-2(m-1)x+3m-5$

Để hàm số đồng biến trên $(2;+∞)$ thì $y'≥0$, $∀x∈[2;+∞)$

$→ x^2-2mx+2x+3m-5≥0$, $∀x∈[2;+∞)$

$↔ m(3-2x)≥5-x^2-2x$

Vì $x∈[2;+∞)$ nên $m≤\dfrac{5-x^2-2x}{3-2x}$

Đặt $g(x)=\dfrac{5-x^2-2x}{3-2x} → m≤Min_{g(x)}$, $∀x∈[2;+∞)$

Lập bảng biến thiên của $g(x)$ trên $[2;+∞)$ ta được $Min_{g(x)}=g(2)=3$

Vậy $m≤3$.