cho hàm số y=1/3mx^3-(m-1)x^2+3(m-2)x+1/2 tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu thỏa mãn x1,x2 >0 help me ;)))

$y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-2)$

ĐK: $m\ne 0$

Hàm số có hai cực trị dương khi:

$\begin{cases} \Delta'=(m-1)^2-3m(m-2)>0\quad (1)\\ S=\dfrac{2(m-1)}{m}>0\quad (2)\\ P=\dfrac{3(m-2)}{m}>0\quad(3)\end{cases}$

$(1)\to m^2-2m+1-3m^2+6m>0$

$\to -2m^2+4m+1>0$

$\to \dfrac{2-\sqrt6}{2}<m<\dfrac{2+\sqrt6}{2}$

$(2)\to \dfrac{m-1}{m}>0$

$\to \left[ \begin{array}{l}m<0\\m>1\end{array} \right.$

$(3)\to \dfrac{m-2}{m}>0$

$\to \left[ \begin{array}{l}m<0\\m>2\end{array} \right.$

Kết hợp các điều kiện: 

\(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{2-\sqrt6}{2}<m<0 \\ 2<m<\dfrac{2+\sqrt6}{2} \end{array} \right.\)

Đáp án: $\left[ \begin{array}{l}
2 < m < \dfrac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\\
\dfrac{{2 - \sqrt 6 }}{2} < m < 0
\end{array} \right.$

Giải thích các bước giải:

Hai cực trị là nghiệm của phương trình

$\begin{array}{l}
y' = 0\\
 \Leftrightarrow m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\# 0\\
\Delta ' > 0\\
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}{x_2} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\# 0\\
{\left( {m - 1} \right)^2} - m.3\left( {m - 2} \right) > 0\\
\dfrac{{m - 1}}{m} > 0\\
\dfrac{{m - 2}}{m} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\# 0\\
{m^2} - 2m + 1 - 3{m^2} + 6m > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < 0
\end{array} \right.\\
2{m^2} - 4m - 1 < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < 0
\end{array} \right.\\
\dfrac{{2 - \sqrt 6 }}{2} < m < \dfrac{{2 + \sqrt 6 }}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2 < m < \dfrac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\\
\dfrac{{2 - \sqrt 6 }}{2} < m < 0
\end{array} \right.\\
Vậy\,\left[ \begin{array}{l}
2 < m < \dfrac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\\
\dfrac{{2 - \sqrt 6 }}{2} < m < 0
\end{array} \right.
\end{array}$