Cho hàm số: y=1/3X^3+(m-1)X^2+(2m-3)X-2/3 Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên (1;Dương vô cùng)

$y = \dfrac{1}{3}x^3 + (m -1)x^2 + (2m - 3)x - \dfrac{2}{3}$

$TXĐ: D = R$

$y' = x^2 + 2(m - 1)x + 2m - 3$

Hàm sô đồng biến trên $(1;+\infty)$

$\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x \in(1;+\infty)$

$\Leftrightarrow x^2 + 2(m - 1)x + 2m - 3 \geq 0, \forall x \in(1;+\infty)$

$\Leftrightarrow m \geq \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{2(x + 1)}, \forall x \in(1;+\infty)$ $(*)$

Đặt $g(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{2(x + 1)}$

Xét $g(x)$ trên $(1;+\infty)$

Ta có: $g'(x) = -\dfrac{1}{2}$

Bảng biến thiên $g(x)$:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & && 1 & & &  & & +\infty&&\\
\hline
g'(x)&&-&|&&&&-&&&&\\
\hline
 &&&|&1&&&&\\
g(x) && &|&&&&\searrow& && & \\
 & &&|&&&&\\
\hline
\end{array}$

Vậy $(*) \Leftrightarrow m \geq 1$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: