Cho hàm số f(x)= x( căn x^2+2). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x) =(x+1).f’(x) =???

Đáp án:

$\displaystyle\int  g(x)dx=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2 +2}} + C$

Giải thích các bước giải:

$\displaystyle\int g(x)dx = \displaystyle\int (x+1)f'(x)dx$

Đặt $\begin{cases}u = x+1\\dv = f'(x)dx\end{cases}\longrightarrow \begin{cases}du = dx\\v = f(x)\end{cases}$

Ta được:

$\displaystyle\int g(x)dx = (x+1)f(x) - \displaystyle\int f(x)dx$

$\to \displaystyle\int g(x)dx = \dfrac{x(x+1)}{\sqrt{x^2 +2}} - \sqrt{x^2+2} + C$

$\to \displaystyle\int g(x)dx=\dfrac{x^2 + x - (x^2 +2)}{\sqrt{x^2 + 2}} + C$

$\to \displaystyle\int  g(x)dx=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2 +2}} + C$