Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0;+ ∞) và thỏa mãn f(x ² +1)+$\frac{f(\sqrt[]{x} )}{4x\sqrt[]{x}}$ = $\frac{ln(x)}{x^{2} }$ Giá trị của I= $\int\limits^7_1{f(x)} \, dx$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Áp dụng tính chất $:\int\limits^a_b {f(x)} \, dx = \int\limits^a_b {f(t)} \, dt$ 

Ta có:

$ f(x² + 1) + \dfrac{f(\sqrt{x})}{4x\sqrt{x}} = \dfrac{lnx}{x²}$

$ ⇔ 2xf(x² + 1) + \dfrac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2lnx}{x}$

$ ⇒ \int\limits^7_1{2xf(x² + 1)}\,dx + \int\limits^7_1{\dfrac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}}\,dx = \int\limits^7_1{\dfrac{2lnx}{x}}\,dx$

$ ⇔ \int\limits^7_1{f(x² + 1)}\,d(x² + 1) + \int\limits^7_1{f(\sqrt{x})}\,d(\sqrt{x}) = \int\limits^7_1{2lnx}\,d(lnx)$

$ ⇒ 2\int\limits^7_1{f(x)}\,dx = (lnx)²|^7_1$

$ ⇔ \int\limits^7_1{f(x)}\,dx = \dfrac{1}{2}(ln7)²$