cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn |z1+1-2i|+|z1-3-3i|=2|z2-1- 5/2i|= √ 17 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=|z1-z2|+|z1+1+2i|

Đáp án:

$\displaystyle \sqrt{17} +\sqrt{41}$

Giải thích các bước giải:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Đặt\ z_{1} =x+iy\ \\ Gọi\ M( x;y) \ là\ điểm\ biểu\ diễn\ z_{1} \ trên\ mặt\ phẳng\ Oxy\\ |z_{1} +1-2i|+|z_{1} -3-3i|=\sqrt{17}\\ \Leftrightarrow |( x+1) +i( y-2) |+|( x-3) +i( y-3) |=\sqrt{17}\\ \Leftrightarrow \sqrt{( x+1)^{2} +( y-2)^{2}} +\sqrt{( x-3)^{2} +( y-3)^{2}} =\sqrt{17}( 1)\\ Đặt\ A( -1;2) \ B( 3;3) \ thay\ vào\ ( 1) :\ MA+MB=\sqrt{17}\\ mà\ AB=\sqrt{17}\\ \Rightarrow M\ nằm\ trong\ đoạn\ thẳng\ AB.\\ Đặt\ z_{2} =a+bi\\ Gọi\ P( a,b) \ là\ điểm\ biểu\ diện\ z_{2} \ trên\ mặt\ phẳng\ Oxy\\ 2|z_{2} -1-\ \frac{5}{2} i|=\sqrt{17}\\ \Leftrightarrow 2|( a-1) +i\left( b-\frac{5}{2}\right) |=\sqrt{17}\\ \Leftrightarrow \sqrt{( a-1)^{2} +\left( b-\frac{5}{2}\right)^{2}} =\frac{\sqrt{17}}{2}\\ \Leftrightarrow ( a-1)^{2} +\left( b-\frac{5}{2}\right)^{2} =\frac{17}{4}\\ \Rightarrow P\ thuộc\ đường\ tròn\ tâm\ I\left( 1;\frac{5}{2}\right) \ bán\ kính\ R=\frac{\sqrt{17}}{2} =\frac{AB}{2}\\ ( I\ là\ trung\ điểm\ của\ AB)\\ Gọi\ K( -1;-2)\\ P=|z_{1} -z_{2} |+|z_{1} +1+2i|\ =MP+MK\\ Ta\ có\ MP\leqslant 2R=\sqrt{17}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ MK\leqslant KB=\sqrt{( 3+1)^{2} +( 3+2)^{2}} =\sqrt{41}\\ \Rightarrow P\leqslant \sqrt{17} +\sqrt{41}\\ Vậy\ GTLN\ của\ P=\sqrt{17} +\sqrt{41}\\ Dấu\ "="\ xảy\ ra\ \Leftrightarrow M\equiv B,\ P\equiv A\\ hay\ z_{1} =3+3i\ ;\ z_{2} =-1+2i\\ \\ \end{array}$