cho f'(x)=$\frac{x+3}{\sqrt[]{x^{2}+1} }$ với mọi x thuộc R .Bao nhiêu số nguyên m thuộc (-20;20) để g(x)=f(x)-2mx+1 nghịch biến trên R

Đáp án: $22$

Giải thích các bước giải:

Để $g(x)$ nghịch biến trên $R$

$\to g'(x)<0,\quad\forall x\in R$

$\to f'(x)-2m<0,\quad\forall x\in R$

$\to \dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}-2m<0,\quad\forall x\in R$

$\to \dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}<2m,\quad\forall x\in R(*)$

Đặt $y=\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}$

Ta có:
$\sqrt{x^2+1}=\dfrac1{\sqrt{10}}\cdot\sqrt{(x^2+1)(1+3^2)}\ge \dfrac1{\sqrt{10}}\cdot \sqrt{(x+3)^2}= \dfrac1{\sqrt{10}}\cdot |x+3|$

Nếu $x+3>0$

$\to \sqrt{x^2+1}\ge \dfrac1{\sqrt{10}}\cdot(x+3)$

$\to \dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}\le \sqrt{10}$

Nếu $x+3<0$

$\to y<0$

Kết hợp cả $2$ trường hợp

$\to y\le\sqrt{10}$

Kết hợp với $(*)$

$\to \sqrt{10}<2m$

$\to m>\dfrac12\sqrt{10}$

Mà $m\in (-20, 20), m\in Z$

$\to -2\le m\le 19$

$\to$Có $22$ giá trị $m$ thỏa mãn đề