cho f'(x)= -$x^{3}$+12x+2 với mọi x thuộc R. tìm m=? để g(x)=f(x)-mx+1 đồng biến trên (1;4)

$g'(x)=f'(x)-m$

ĐK: $f'(x)-m\ge 0\quad\forall x\in(1;4)$

$\to m\le -x^3+12x+2\quad\forall x\in (1;4)$

$\to m\le \min\limits_{(1;4)}(-x^3+12x+2)$

Xét $g(x)=-x^3+12x+2$

$g'(x)=-3x^2+12$

$g'(x)=0\to x=2$ (TM $1<x<4$)

So sánh $f(1)=13; f(2)=18; f(4)=-14$

Kết luận $\min\limits_{(1;4)}g(x)=g(4)=-14$

Vậy $m\le -14$

Đáp án:

$m \in \left( { - \infty ; - 14} \right]$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$g\left( x \right) = f\left( x \right) - mx + 1 \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - m$

Để hàm số $g(x)=f(x)-mx+1$ đồng biến trên $(1;4)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {1;4} \right)\\
 \Leftrightarrow f'\left( x \right) - m \ge 0,\forall x \in \left( {1;4} \right)\\
 \Leftrightarrow m \le f'\left( x \right),\forall x \in \left( {1;4} \right)\\
 \Leftrightarrow m \le  - {x^3} + 12x + 2,\forall x \in \left( {1;4} \right)\\
 \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x \in \left( {1;4} \right)} \left( { - {x^3} + 12x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow m \le  - 14\\
 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 14} \right]
\end{array}$

Vậy $m \in \left( { - \infty ; - 14} \right]$