Cho F(x)=x^2 là nguyên hà của hàm số f(x). $e^{-x}$ trên đoạn [0,1]. tính I= $\int\limits^1_0 {f'(x)e^{x}} \, dx$ Giúp em câu này với ạ. em cám ơn

Đáp án:

$\begin{array}{l}
F\left( x \right) = {x^2} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){e^{ - x}}dx} \\
 \Rightarrow \left( {{x^2}} \right)' = f\left( x \right).{e^{ - x}}\left( {x \in \left[ {0;1} \right]} \right)\\
 \Rightarrow 2x = f\left( x \right).{e^{ - x}}\left( {x \in \left[ {0;1} \right]} \right)\\
 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{e^{ - x}}}} = 2x.{e^x}\\
 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2.{e^x} + 2x.{e^x}\\
 \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){e^x}dx} \\
 = \int\limits_0^1 {\left( {2.{e^x} + 2.x.{e^x}} \right)dx} \\
 = \int\limits_0^1 {\left( {2.{e^x}} \right)dx}  + \int\limits_0^1 {\left( {2.x{e^x}} \right)dx} \\
 = \left( {2{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. + \left( {2.x.{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. + \int\limits_0^1 {\left( {2.{e^x}} \right)dx} \\
 = 2e - 2 + 2e + \left( {2{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right.\\
 = 4e - 2 + 2e - 2\\
 = 6e - 4
\end{array}$