Cho f(x $x^{2}$ + x +1) = x Tính I= $\int\limits^3_1 f({x}) \, dx$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Tham khảo, ko được hay

Với $ x∈[1; 3] ⇒ f(x² + x + 1) = x >0$

Đặt $ u = x² + x + 1 = (x + \dfrac{1}{2})² + \dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{4}$

$ ⇔ (x + \dfrac{1}{2})² = u - \dfrac{3}{4} ⇔  x + \dfrac{1}{2} = \sqrt{u - \dfrac{3}{4}} $

$ ⇔ x = \sqrt{u - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{1}{2} $

$ ⇒ f(u) = x = \sqrt{u - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{1}{2} $

$ ⇒ f(x) = \sqrt{x - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{1}{2} $ liên tục, khả tích trên $[1; 3]$

$ I = \int\limits^3_1 {f(x)} \, dx = \int\limits^3_1 { (\sqrt{x - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{1}{2} )} \, dx $ 

$ = \dfrac{2}{3}\sqrt{(x - \dfrac{3}{4})³}|^3_1 - \dfrac{1}{2}x|^3_1$

$ = \dfrac{2}{3}[\sqrt{(3 - \dfrac{3}{4})³} - \sqrt{(1 - \dfrac{3}{4})³}] - \dfrac{1}{2}(3 - 1)$

$ = \dfrac{7}{6}$