Cho F(x)=(x-1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^2x. A. ∫ f'(x)e^2x dx = (x-2)e^x + C B. ∫ f'(x)e^2x dx = (2-x)/2 ×e^x + C C. ∫ f'(x)e^2x dx = (2-x)e^x + C D. ∫ f'(x)e^2x dx = (4-2x)e^2x + C

Đáp án: C

Lời giải:

Ta có

$\displaystyle \int f(x) e^{2x} dx = (x-1)e^x$

$\Leftrightarrow f(x) . e^{2x} = [(x-1) . e^x]'$

$\Leftrightarrow f(x) . e^{2x} = e^x + (x-1) . e^x$

$\Leftrightarrow f(x) = e^{-x} + (x-1).e^{-x}$

Ta lại có

$\displaystyle \int f'(x) e^{2x} dx = \displaystyle \int e^{2x} d[f(x)]$

$= e^{2x} f(x) - 2\displaystyle \int f(x) . e^{2x} dx$

$= e^{2x} f(x) - 2(x-1)e^x + c$

$= e^{2x}[e^{-x} + (x-1)e^{-x}] - 2(x-1)e^x + c$

$= e^x + (x-1)e^x - 2(x-1)e^x + c$

$= (1 + x-1 - 2x + 2)e^x + c$

$= (2-x)e^x + c$

Đáp án C.

Đáp án:

 C. $\displaystyle\int f'(x)e^{2x}dx=(2-x)e^x+C$

Giải thích các bước giải:

$F(x)=(x-1)e^x$ là nguyên hàm của hàm $f(x)e^{2x}$ hay $F(x)=\displaystyle\int f(x)e^{2x}dx$ nên

$F'(x)=f(x)e^{2x}$

Ta có: $F'(x)=[(x-1)e^x]'=e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x)e^{2x}$

$\Rightarrow f(x)=xe^{-x}$

$f'(x)=(xe^{-x})'=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$

$\Rightarrow f'(x)e^{2x}=(1-x)e^{-x}.e^{2x}=(1-x)e^x$

$\Rightarrow I=\displaystyle\int f'(x)e^{2x}dx=\displaystyle\int (1-x)e^xdx$

Đặt $\begin{cases}u=1-x\\dv=e^xdx\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}du=-dx\\v=e^x\end{cases}$

$\Rightarrow I=(1-x)e^x+\displaystyle\int e^xdx$

$=(1-x)e^x+e^x+C=(2-x)e^x+C$