Cho f(1)=2 và e^f'(x)/x = x . Tính f(2) Giúp mình vs ạ

Đáp án:

 $f(2)=2ln2+\dfrac{1}{4}$

Giải thích các bước giải:

$e^{\dfrac{f'(x)}{x}}=x$

$\rightarrow \dfrac{f'(x)}{x}=ln(x)$

$\rightarrow f'(x)=xln(x)$

$\rightarrow \int f'(x)dx=\int xln(x)dx$

$\rightarrow f(x)=\int ln(x)d(\dfrac{x^2}{2})$

$\rightarrow f(x)=ln(x).\dfrac{x^2}{2}-\int \dfrac{x^2}{2}d(lnx)$

$\rightarrow f(x)=ln(x).\dfrac{x^2}{2}-\int \dfrac{x^2}{2}.\dfrac{1}{x}dx$

$\rightarrow f(x)=ln(x).\dfrac{x^2}{2}-\int \dfrac{x}{2}dx$

$\rightarrow f(x)=ln(x).\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^2}{4}+C$

Mà $f(1)=2\rightarrow f(1)=ln(1).\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{1^2}{4}+C$

$\rightarrow C=\dfrac{5}{4}$

$\rightarrow f(x)=ln(x).\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{5}{4}$

$\rightarrow f(2)=2ln2+\dfrac{1}{4}$