Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.

Đáp án:

$BE=R\sqrt3$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$OA\perp BC$ tại $M$

$\Rightarrow BM = MC=\dfrac12BC$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)

Lại có: $OM= MA =\dfrac12OA$

Do đó $OBAC$ là hình thoi

$\Rightarrow OB = AB = R$

$\Rightarrow OB = AB = OA = R$

$\Rightarrow \widehat{BOA}= 60^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BOE}= 60^\circ$

Mặt khác:

$BE$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$

$\Rightarrow OB\perp BE$

$\Rightarrow \triangle OBE$ vuông tại $B$

Ta được:

$\tan\widehat{BOE}=\dfrac{BE}{OB}$

$\Rightarrow BE = OB.\tan\widehat{BOE}= R.\tan60^\circ$

$\Rightarrow BE = R\sqrt3$