cho đường tròn (o) và một đường thẳng d không cắt (o), M là một điểm chạy trên d. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (o). chứng minh rằng AB luôn đi qua điểm cố định.

Giải thích các bước giải:

Gọi `K` là giao điểm của `OM` và `AB`

Kẻ `OG⊥d` tại `G`, `OG` cắt `AB` tại `H`.

Ta có `G` cố định, `OG` không đổi

Vì `OM` là tia phân giác của `hat{AOB}`(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

`⇒OK` là tia phân giác của `hat{AOB}`

Vì `OA=OB=R⇒\triangleABO` cân tại `O`, có `OK` là tia phân giác của `hat{AOB}`

`⇒OK` là đường cao của `\triangleABO`

`⇒OK⊥AB` tại `K`

`⇒hat{OKH}=90^o(1)`

Mà: `hat{OGM}=90^o(g``t)(2)`

Từ `(1),(2):`

`⇒hat{OKH}=hat{OGM}`

Xét `\triangleOHK` và `\triangleOMG` ta có:

`hat{OKH}=hat{OGM}(cmt)`

`hat{O1}` chung

`⇒\triangleOHK`$\backsim$`\triangleOMG`

`⇒(OH)/(OM)=(OK)/(OG)`

`⇒OH.OG=OK.OM(3)`

Ta có:`hat{OAM}=90^o`(t/c tiếp tuyến của đường tròn)

`→\triangleOMA⊥A`

Áp dụng hệ thức lượng trong `\triangleOMA⊥A` có `AK` là đường cao có:

`⇒OA^2=R^2=OK.OM(4)`

Từ `(3)` và `(4):`

`⇒OH.OG=R^2`

`⇒OH=R^2/(OG)`, không đổi

`→H` cố định

`→AB` đi qua điểm cố định `H`