Cho đường tròn (O; R) hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn, AB cắt OM tại H. a) Chứng minh AM . BM = MH . MO b) Đường thẳng OA cắt MB tại N. Chứng minh OA/ON = MB/MN c) Từ O kẻ OK // AM (K thuộc MB) chứng minh OK = MK

`a)` Xét `(O; R)` có `MA, MB` là hai tiếp tuyến; `A, B` là hai tiếp điểm

$\Rightarrow$ $\begin{cases} OA=OB=R\\MA=MB\\MA ⊥ AO\\MB ⊥ BO\end{cases}$

$\Rightarrow$ `MO` là tia phân giác của $\widehat{AMB}$

$\Rightarrow$ $\widehat{AMO}$ `=` $\widehat{BMO}$

Vì $\left.\begin{matrix} OA = OB = R\\MA = MB\end{matrix}\right\}$

$\Rightarrow$ `MO` là đường trung trực của `AB`

$\Rightarrow$ `AB ⊥ MO` tại `H`

Xét tam giác `AMO` vuông tại `A`, đường cao `AH`

$\Rightarrow$ $MA^{2}=MH.MO$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông), mà `MA = MB`

$\Rightarrow$ MA . MB = MH . MO

`b)` Xét `∆NBO` và `∆NAM` có:

$\widehat{NBO}$ `=` $\widehat{NAM}$ `=` $90^o$

$\widehat{N}$ chung

$\Rightarrow$ `∆NBO` `~` `∆NAM` `(g . g)`

$\Rightarrow$ $\dfrac{BO}{ON}$ `=` $\dfrac{MA}{MN}$ 

mà `MA = MB, OB = OA` $\Rightarrow$ $\dfrac{OA}{ON}$ `=` $\dfrac{MB}{MN}$

`c)` $\left.\begin{matrix} OK ⊥ AO\\MO ⊥ AO \end{matrix}\right\}$ $\Rightarrow$ $MA//KO$

$\Rightarrow$ $\widehat{MOK}$ `=` $\widehat{AMO}$ (hai góc so le trong)

mà $\widehat{MOK}$ `=` $\widehat{KMO}$

$\Rightarrow$ `ΔMOK` cân tại `K`

$\Rightarrow$ `OK=MK`