Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA’. a. Chứng minh: HE vuông góc vớiAC. b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC. c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định.
1 câu trả lời
Đáp án+Giải thích các bước giải:
$a)$Tứ giác $HEBA$ có $H$ và $E$ cùng nhìn $BA$ dưới một góc $90^\circ$
$\Rightarrow HEBA$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{H_1}=\widehat{A_1}$ (cùng chắn cung $EB$)
Mà $\widehat{C_1}=\widehat{A_1}$ (cùng chắn cung nhỏ $A'B$)
$\Rightarrow \widehat{H_1}= \widehat{C_1}$
Mà hai góc ở vị trí đồng vị so với $HE$ và $A'C$
$\Rightarrow HE//A'C(1)$
$\widehat{ACA'}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
$\Rightarrow \widehat{ACA'}=90^\circ\\ \Rightarrow AC \perp A'C (2)\\ (1)(2) \Rightarrow HE \perp AC$
$b)HEBA$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{E_1}= \widehat{B_1}$
Chứng minh tương tự câu $a$
$\Rightarrow HFAC$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{F_1}= \widehat{ACB}$
Xét $\Delta HEF$ và $\Delta ABC$
$\widehat{E_1}= \widehat{B_1}\\ \widehat{F_1}= \widehat{ACB}\\ \Rightarrow \Delta HEF \backsim \Delta ABC$
$c)G;J;I$ lần lượt là trung điểm $AB;BC;CA$
$\Delta AEB$ vuông tại $E$, trung tuyến $EG$
$\Rightarrow EG=\dfrac{1}{2}AB$
Tương tự ta có $HG=\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow EG=HG$
$\Rightarrow \Delta GHE$ cân tại $G$
$\Delta ABC, G,J$ lần lượt $l $ là trung điểm $AB;BC$
$\Rightarrow GJ$ là đường trung bình tam giác
$\Rightarrow GJ//AC$
Mà $HE//AC$
$\Rightarrow GJ \perp HE$
Lại có $\Delta GHE$ cân tại $G$
$\Rightarrow GJ$ đồng thời là trung trực $HE$
Chứng minh tương tự, $IJ$ là trung trực $HF$
$\Rightarrow J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HEF$
$J$ là trung điểm $BC, BC$ cố định $\Rightarrow J$ cố định.