Cho đường tròn (𝑂), đường kính 𝐴𝐵. Gọi 𝑆 là điểm chính giữa cung 𝐴𝐵. Điểm 𝑀 thay đổi trên cung 𝐴𝐵 không chứa 𝑆. Gọi 𝑁 = 𝑆𝑀 ∩ 𝐴𝐵. Xác định vị trí của 𝑀 sao cho 𝑀𝑁 lớn nhất
1 câu trả lời
$SAMB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $SM\cap AB=N$
$\Rightarrow NM.NS=NA.NB$
$\Rightarrow NM=\dfrac{NA.NB}{NS}$
Có $NA.NB\le \dfrac{{{\left( NA+NB \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{{{\left( 2R \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{4{{R}^{2}}}{4}={{R}^{2}}$
Có $NS\ge SO=R\Rightarrow \dfrac{1}{NS}\le \dfrac{1}{R}$
$\Rightarrow \dfrac{NA.NB}{NS}\le \dfrac{{{R}^{2}}}{R}$
$\Rightarrow NM\le R$
Dấu “=” xảy khi khi $\begin{cases}NA=NB\\NS=SO\end{cases}\Leftrightarrow N\equiv O$
Khi đó $M$ là sẽ điểm chính giữa của nữa cung $AB$ còn lại
Hay $M$ đối xứng với $S$ qua $O$ thì $MN$ lớn nhất
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm