Cho đoạn thẳng AB và điểm C thuộc đoạn thẳng đó (C khác A và B). Về cùng nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên Ax lấy điểm M cố định. Kẻ tia Cz  CM tại C, tia Cz cắt tia By tại K. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính MC cắt MK tại E. 1. Chứng minh CEKB là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh AM.BK = AC.BC. 3. Chứng minh tam giác AEB là tam giác vuông;

`1)` Ta có:

`\hat{MEC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>CE`$\perp MK$ tại `E`

`=>\hat{CEK}=90°`

$\\$

Xét tứ giác `CEKB` có:

`\hat{CEK}+\hat{CBK}=90°+90°=180°`

Mà hai góc `\hat{CEK};\hat{CBK}` ở vị trí đối diện

`=>CEKB` là tứ giác nội tiếp (đpcm)

$\\$

`2)` Ta có:

`\hat{ACM}+\hat{BCK}+\hat{MCK}=180°`

`=>\hat{ACM}+\hat{BCK}=180°-\hat{MCK}=180°-90°=90°` $(1)$

$\\$

Xét $∆ACM$ vuông tại $A$

`=>\hat{ACM}+\hat{AMC}=90°` (hai góc phụ nhau) `(2)`

Từ `(1);(2)=>\hat{AMC}=\hat{BCK}`

$\\$

Xét $∆AMC$ và $∆BCK$ có:

`\qquad \hat{AMC}=\hat{BCK}`

`\qquad \hat{CAM}=\hat{KBC}=90°`

`=>∆AMC∽∆BCK` (g-g)

`=>{AM}/{BC}={AC}/{BK}`

`=>AM.BK=AC.BC` (đpcm)

$\\$

`3)` Xét tứ giác $AMEC$ có:

`\hat{MAC}+\hat{MKC}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{MAC};\hat{MKC}` ở vị trí đối diện nhau

`=>AMEC` nội tiếp

`=>\hat{AEC}=\hat{AMC}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC)$

Mà `\hat{AMC}=\hat{BCK}` (câu 2)

`=>\hat{AEC}=\hat{BCK}` $(3)$

$\\$

Vì $CEKB$ nội tiếp (câu 1)

`=>\hat{CEB}=\hat{CKB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CB$) $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)`

`=>\hat{AEC}+\hat{CEB}`

`=\hat{BCK}+\hat{CKB}=90°` (vì $∆BCK$ vuông tại $B$)

`=>\hat{AEB}=90°`

`=>∆AEB` vuông tại `E` (đpcm)