Cho đồ thị hàm số c y = 2 x + 4 chia âm x + 1 và đường thẳng d y = k nhân x trừ k cộng 1 tìm K để đường thẳng d giao với đồ thị c bằng 2 nghiệm phân biệtA,B. A B nhỏ nhất

Đáp án:

Giải thích các bước giải: \[\begin{array}{l} \left( C \right):y = \frac{{2x + 4}}{{ - x + 1}}\\ d:y = kx - k + 1 \end{array}\] Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: \[\begin{array}{l} \frac{{2x + 4}}{{ - x + 1}} = kx - k + 1\\ \Leftrightarrow 2x + 4 = \left( {kx - k + 1} \right)\left( { - x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x + 4 + \left( {kx - k + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 4 + k{x^2} - kx - kx + k + x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 4 + k{x^2} - 2kx + x + k - 1 = 0\\ \Leftrightarrow k{x^2} - \left( {2k - 3} \right)x + k + 3 = 0 \end{array} (1)\] Để (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt A,B thì pt (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 \[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne 0\\ {\left( {2k - 3} \right)^2} - 4k.\left( {k + 3} \right) > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne 0\\ 4{k^2} - 12k + 9 - 4{k^2} - 12k > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne 0\\ k < \frac{3}{8} \end{array} \right. \end{array}\] khi đó, áp dụng định lí Vi-et ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{2k - 3}}{k}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{{k + 3}}{k} \end{array} \right.\] \[\begin{array}{l} A\left( {{x_1};k{x_1} - k + 1} \right)\\ B\left( {{x_2};k{x_2} - k + 1} \right)\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {k^2}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {\left( {{k^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} \right)} \end{array}\] Thay Vi-et vào , sau đó rút gọn, cho AB nhỏ nhất để tìm k