Cho dãy số (uₙ) với uₙ=2n/n²+1, ∀n∈N*

Chứng minh dãy số giảm và bị chặn

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$u_n=\dfrac{2n}{n^2+1}\\ u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{(n+1)^2+1}=\dfrac{2n+2}{(n+1)^2+1}\\ u_n-u_{n+1}\\ =\dfrac{2n}{n^2+1}-\dfrac{2n+2}{(n+1)^2+1}\\ =\dfrac{2n[(n+1)^2+1]-(2n+2)(n^2+1)}{(n^2+1)[(n+1)^2+1]}\\ =\dfrac{2 n^2 + 2 n - 2}{(n^2+1)[(n+1)^2+1]}\\ =\dfrac{2 (n^2 + n - 1)}{(n^2+1)[(n+1)^2+1]}\\ f(n)=n^2+n-1$

$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}, a=1 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$

$\Rightarrow f(n) \ge f(1)=1 \ \forall \ n \in (0;+\infty)$

$\Rightarrow \dfrac{2 (n^2 + n - 1)}{(n^2+1)[(n+1)^2+1]} >0 \ \forall \ n \in \mathbb{N}^*\\ \Rightarrow u_n>u_{n+1} \ \forall \ n \in \mathbb{N}^*$

$\Rightarrow (u_n)$ là dãy giảm $(1)$

$\Rightarrow u_n \le u_1=1$

$\Rightarrow$ Dãy bị chặn trên bởi $1(2)$

$u_n=\dfrac{2n}{n^2+1} >0 \ \forall \ n \in \mathbb{N}^*$

$\Rightarrow$ Dãy bị chặn dưới bởi $0(3)$

$(1)(2)(3) \Rightarrow (u_n)$ là dãy giảm và bị chặn.