Cho ΔABC vuông tại A có AB = 5cm ; BC =13cm. a) Tính tỉ số lượng giác của ACB . b) Vẽ hai phân giác BE , CF cắt nhau tại I . Tính AE ,EC ,AF ,BF và số đo BIC c)Kẻ IH vuông góc với AB,IK vuông góc với AC.Chứng tỏ rằng AHIK là hình vuông

a)

$AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{13}^{3}}-{{5}^{2}}}=12cm$

$\sin \widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{13}$  ;  $\cos \widehat{ACB}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{13}$

$\tan \widehat{ACB}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{12}$ ; $\cot \widehat{ACB}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{5}$

b)

Có: $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EC}{BC}=\dfrac{AE+EC}{AB+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}=\dfrac{12}{5+13}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow\begin{cases}AE=\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2}{3}\cdot 5=\dfrac{10}{3}cm\\EC=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{2}{3}\cdot 13=\dfrac{26}{3}cm\end{cases}$

Có: $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{AF+BF}{AC+BC}=\dfrac{AB}{AC+BC}=\dfrac{5}{12+13}=\dfrac{1}{5}$

$\Rightarrow\begin{cases}AF=\dfrac{1}{5}AC=\dfrac{1}{5}\cdot 12=2,4cm\\BF=\dfrac{1}{5}BC=\dfrac{1}{5}\cdot 13=2,6cm\end{cases}$

c)

$I$ là giao điểm hai đường phân giác $BE,CF$

Nên $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

$\Rightarrow AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Tứ giác $AHIK$ có:

$\widehat{AHI}=\widehat{AKI}=\widehat{HAK}=90{}^\circ $ ; $AI$ phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow AHIK$ là hình vuông

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a: Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2 = BC^2` hoặc `AC = 12 (cm)`

 Xét `ΔBAC` vuông tại `A` có `sinACB = AB / BC = 5/13`

                                            `cosACB = AC / BC = 12/13`  

                                           `tanACB = 5 / 12`  

                                           `cotACB = 12/5`

b) Ta có:

`FA / FB` `= CA / CB = 12/13`

`⇒ FA / AB` `=` `12/25`

`⇒ FA = AB. 12/25 `= `12/5`

`⇒ FB = 13/5`

Và: `EA / EB` `=` `BA / BC` `= 5/13`

`⇒ `EA / AC` `=` `5/18`

`⇒ EA=  AC. 5/18 =103`

`⇒ EC=26/3`

Vậy `AE = 10/3; EC = 26/3; FA = 12/5; FB=13/5`