Cho chóp S.ABCD đáy thang vuông tại A và B .SA=a, SA vuông đấy, AB=BC=a; AD=2a, Tính khoảng cách A đến (SCD) ?

Đáp án:

 $d(A;(SCD)) = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Giải thích các bước giải:

Từ $C$ kẻ $CK\perp AD \, (K\in AD)$

$\Rightarrow ABCK$ là hình vuông

$\Rightarrow AB = BC = CK = KA = a$

$\Rightarrow CK = KA = KD = a$

$\Rightarrow ∆ACD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow AC\perp CD$

Ta lại có: $SA \perp CD\, (SA\perp (ABCD))$

$\Rightarrow CD\perp (SAC)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SC \,(H\in SC)$

Do $CD\perp (SCD)$

$AH\subset (SCD)$

nên $CD\perp AH$

mà $AH\perp SC$ (cách dựng)

nên $AH\perp (SCD)$

$\Rightarrow d(A;(SCD)) = AH$

Ta có:

$AC = AB\sqrt2 = a\sqrt2$ (đường chéo của hình vuông $ABCK$)

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆SAC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AC^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2 + AC^2}} = \dfrac{a.a\sqrt2}{\sqrt{a^2 + 2a^2}} = \dfrac{a\sqrt6}{3}$