Cho các số thực x,y thỏa mãn bất đẳng thức: log(4x^2+9y^3)(2x+3y)>=1. tìm giá trị lớn nhất của P=x+3y? Note: 4x^2+9y^3 là cơ số. Giúp mình nha!

Đáp án:

$\max P = \dfrac{3 + \sqrt{10}}{4}$

Giải thích các bước giải:

Sửa đề: $\log_{4x^2 + 9y^2}(2x + 3y)\geq 1$

$\begin{array}{l}\text{Ta có:}\\ \log_{4x^2 + 9y^2}(2x + 3y) \geq 1\\ \to 4x^2 + 9y^2 \leq 2x +3y\\ \to 4x^2 -2x + \dfrac14 + 9y^2 - 3y + \dfrac14 \leq \dfrac12\\ \to \left(2x - \dfrac12\right)^2 + \left(3y - \dfrac12\right)^2 \leq \dfrac12\\ \text{Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:}\\ P = x + 3y =\dfrac12\left(2x - \dfrac12\right) + \left(3y - \dfrac12\right) + \dfrac34\\ \leq \sqrt{\left[\left(\dfrac12\right)^2 + 1^2\right]\cdot\left[\left(2x - \dfrac12\right) ^2 +\left(3y - \dfrac12\right)^2\right]} + \dfrac34\\ \leq \sqrt{\dfrac54\cdot\dfrac12} + \dfrac34 = \dfrac{3 + \sqrt{10}}{4}\\ Vậy\,\,\max P = \dfrac{3 + \sqrt{10}}{4}\end{array}$