cho (C)=$x^{3}$ -m$x^{2}$ +1 cắt d:y=-x+1 tại A(0,1) và B,C .tìm m để tiếp tuyến tại B,C vuông góc với nhau
2 câu trả lời
Đáp án:
$m=\pm \sqrt{5}$
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-mx^2+1=-x+1\\ \Leftrightarrow x^3-mx^2+x=0\\ \Leftrightarrow x(x^2-mx+1)=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0\\x^2-mx+1=0\end{array} \right.$
$(C) \cap (d)$ tại $A(0,1)$ và $B(x_1;y_1); C(x_2; y_2)$ với $x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2-mx+1=0$
$Vi-et: x_1+x_2=m; x_1x_2=1; \\ (C): y=x^3-mx^2+1\\ y'=3x^2-2mx$
Để hai tiếp tuyến tại $B,C$ vuông góc với nhau, tích hai hệ số góc bằng $-1$
$\Leftrightarrow y'(x_1).y'(x_2)=-1\\ \Leftrightarrow (3x_1^2-2mx_1)(3x_2^2-2mx_2)=-1\\ \Leftrightarrow 9(x_1x_2)^2-6mx_1^2x_2-6mx_1x_2^2+4m^2x_1x_2+1=0\\ \Leftrightarrow 9(x_1x_2)^2-6mx_1x_2(x_1+x_2)+4m^2x_1x_2+1=0\\ \Leftrightarrow 9-6m^2+4m^2+1=0\\ \Leftrightarrow -2m^2+10=0\\ \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{5}$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-mx^2+1=-x+1$
$\Leftrightarrow x^3-mx^2+x=0$
$\Leftrightarrow x(x^2-mx+1)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^2-mx+1=0$
Xét phương trình $x^2-mx+1=0$
$\Delta=m^2-4>0\to m<-2$ hoặc $m>2$
Phương trình 2 nghiệm phân biệt là hoành độ của $B$ và $C$. Đặt $x_1=x_B, x_2=x_C$.
Theo Viet: $x_1+x_2=m; x_1x_2=1$
$f(x)=x^3-mx^2+1\to f'(x)=3x^2-2mx$
Ta có: $f'(x_1).f'(x_2)=-1$
$\to (3x_1^2-2mx_1)(3x_2^2-2mx_2)=-1$
$\to 9(x_1x_2)^2-6mx_1^2x_2-6mx_1x_2^2+4m^2x_1x_2=-1$
$\to 9(x_1x_2)^2-6mx_1x_2(x_1+x_2)+4m^2x_1x_2=-1$
$\to 9.1-6m^2+4m^2+1=0$
$\to m=\pm\sqrt5$ (TM)
Vậy $m=\pm\sqrt5$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
