Cho (C) là đồ thị hàm số y= x2 +x -1 / x-1. Tìm các điểm trên C mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với C vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu

Xét ptrinh y' = 0

$\dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = 0$

Ptrinh có 2 nghiệm là $x = 0$ và $x = 2$.

Vậy 2 điểm cực trị của hso là $A(0, 1)$ và $B(2, 5)$

Vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là

$y = 2x + 1$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ $a$ là $f'(a)$.

Do đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng $y = 2x + 1$ nên

$f'(a).2 = -1$

$<-> \dfrac{a^2 - 2a}{(a-1)^2} = -\dfrac{1}{2}$

$<-> 3a^2 -6a + 1 = 0$

Vậy $a = \dfrac{3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Vậy các điểm thỏa mãn đề bài là

$(\dfrac{3 - \sqrt{6}}{3}, \dfrac{18-5\sqrt{6}}{6})$, $(\dfrac{3 + \sqrt{6}}{3}, \dfrac{18 + 5\sqrt{6}}{6})$.