Cho ánh xạ tuyến tính Xét ánh xạ f:R^2->R^3 xác định bởi: f(x,y)=(x+2y,2x-y,x-y)

Đáp án:

Im(f)={(t1,t2,t3)∈$R^{3}$|t1-3t2+5t3=0}

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

(x,y)∈Ker(f)<=>f(x,y)=0

Ta có hệ pt:

•x+2y=0

•2x-y=0  <=>x=0,y=0

•x-y=0

Do đó:Ker(f)={0}

Ta đi tìm Im(f).Theo định nghĩa, ta có:

∀u=(t1,t2,t3)∈$R^{3}$ :u∈Im(f)

<=>E(x,y)∈$R^{2}$ ,f(x,y)=u

<=>E(x,y)∈$R^{2}$,ta có hệ pt:

•x+2y=t1

 2x-y=t2

 x-y=t3

<=>Hệ Ax=B có nghiệm,trong đó:

A=$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&-1\\1&-1\end{array}\right]$ ;B=$\left[\begin{array}{ccc}t1\\t2\\t3\end{array}\right]$ và X=$\left(\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right)$ là ẩn.

Ta biện luận hệ Ax=B bằng pp Gauss:

(A|B)=$\left(\begin{array}{ccc}1&2&|t1\\2&-1&|t2\\1&-1&|t3\end{array}\right)$ =$\left(\begin{array}{ccc}1&2&|t1\\0&-5&|t2-2t1\\0&-3&|t3-t1\end{array}\right)$ 

=$\left(\begin{array}{ccc}1&2&|t1\\0&-5&|t2-2t1\\0&0&|t1-3t2+5t3\end{array}\right)$ 

Như vậy,hệ Ax=B có nghiệm <=>t1-3t2+5t3=0

Do đó:Im(f)={(t1,t2,t3)∈$R^{3}$|t1-3t2+5t3=0}

*Notes:

f là đơn ánh

Ker(f) không gian vecto con cuả v

Im(f) không gian vecto con cuả W