cho : abc=1 và a+b+c=1/a+1/b+1/c CMR trong ba số a,b,c tồn tại 1 số bằng 1

Đáp án:

a+b+c=1a+1b+1c

⇔a+b+c=ab+bc+caabc

⇔a+b+c−ab−bc−ca=0

⇔a+b+c−ab−bc−ca+abc−1=0

⇔(a−ac)+(b−bc)+(−ab+abc)+(c−1)=0

⇔−a(c−1)−b(c−1)+ab(c−1)+(c−1)=0

⇔(−a−b+ab+1)(c−1)=0

⇔[b(a−1)−(a−1)](c−1)

⇔(b−1)(a−1)(c−1)=0

⇒a−1=0b−1=0c−1=0

⇒a=1b=1c=1(đpcm)

Ta có:

`1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ac)/(abc) = ab + bc + ca`

`=> a + b + c = ab + bc + ca`

`<=> a + b + c - ab - bc - ca = 0`

`<=> a + b + c - ab - bc - ac + abc - 1 = 0`

`<=> (a - ab) + (b - 1) + (c - bc) + (abc - ac) = 0`

`<=> -a(b - 1) + (b - 1) - c(b - 1) + ac(b - 1) = 0`

`<=> (b - 1)(-a + 1 -c + ac) = 0`

`<=> (b - 1)[ (-a + 1) + (ac - c) ] = 0`

`<=> (b - 1)[ -(a - 1) + c(a - 1) ] = 0`

`<=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0`

`<=> a - 1 = 0` hoặc `b - 1 = 0` hoặc `c - 1 = 0`

`<=> a = 1` hoặc `b = 1` hoặc `c = 1`

(đpcm).