Cho a,b là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$a^{3}$ + $b^{3}$ + $\frac{1}{ab}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Chứng minh BĐT phụ

Với `a,b>0` ta luôn có `a^3+b^3>=ab(a+b)`

`<=>(a+b)(a^2-ab+b^2)>=ab(a+b)`

`<=>(a+b)(a-b)^2>=0` Luôn đúng với `AAa,b>0`

`=>a^3+b^3>=ab(a+b)=ab` vì `a+b=1`

`=>P>=ab+1/(ab)`

Ta có `1=a+b>=2\sqrt{ab}`

`=>ab<=1/4`

`=>P=ab+1/(ab)=(ab+1/(16ab))+15/(16ab)`

`=>P>=2\sqrt{ab . 1/(16ab)}+15/(16. 1/4)=17/4`

Dấu `=` xảy ra `=>a=b=1/2`

Vậy `P_(min)=17/4<=>a=b=1/2`

Đáp án:

 a+b=1 ≥2√ab

=> a.b≤$\frac{1}{4}$ 

=> -ab≥$\frac{-1}{4}$ 

      $\frac{1}{ab}$≥4

P=$a^{3}$ +$b^{3}$ +$\frac{1}{ab}$  = (a+b)(a²-ab+b²) + $\frac{1}{ab}$ = a²+b²-ab+$\frac{1}{ab}$

P=(a+b)²+$\frac{1}{ab}$-3ab ≥ 1+4-$\frac{3}{4}$=$\frac{17}{4}$ 

Vậy GTNN của P= $\frac{17}{4}$ 

đấu = xảy ra <=> a=b=1/2

Giải thích các bước giải: