Cho `a,b,c>0` và `a+b+c=1` CMR: `(1-2a^2)/((1-2a)^2)+(1-2b^2)/((1-2b)^2)+(1-2c^2)/((1-2c)^2)>=21`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Coi như có điều kiện $a;b;c < \dfrac{1}{2}$

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P, ta có:

$\dfrac{1-2a^2}{(1-2a)^2}=\dfrac{1-2a+2a-2a^2}{(1-2a)^2}=\dfrac{1-2a-\dfrac{1}{2}(1-4a+4a^2)+\dfrac{1}{2}}{(1-2a)^2}$

$=\dfrac{1-2a-\dfrac{1}{2}(1-2a)^2+\dfrac{1}{2}}{(1-2a)^2}=\dfrac{1}{1-2a}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}·\dfrac{1}{(1-2a)^2}$

Tương tự... và cộng vế:

$P \geq \dfrac{1}{1-2a}+\dfrac{1}{1-2b}+\dfrac{1}{1-2c}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{(1-2a)^2}+\dfrac{1}{(1-2b)^2}+\dfrac{1}{(1-2c)^2} \right)-\dfrac{3}{2}$

Ta có:

$\dfrac{1}{1-2a}+\dfrac{1}{1-2b}+\dfrac{1}{1-2c} \geq \dfrac{9}{3-2(a+b+c)}=9$

Và:

$\dfrac{1}{(1-2a)^2}+\dfrac{1}{(1-2b)^2}+\dfrac{1}{(1-2c)^2} \geq \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{1-2a}+\dfrac{1}{1-2b}+\dfrac{1}{1-2c}\right)^2$

$\geq \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{9}{3-2(a+b+c)}\right)^2=27$

Do đó:

$P \geq 9+\dfrac{1}{2}·27-\dfrac{3}{2}=21$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$