Cho a, b,c>0. CMR: $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$
2 câu trả lời
BĐT Cần chứng minh tương đương :
`((bc)^2+(ca)^2+(ab)^2)/(abc) >= (a^2bc+ab^2c+abc^2)/(abc)`
`<=>(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2>= a^2bc + ab^2c+abc^2(1)`
Đặt `x=bc,y=ca, z=ab(x,y,z>0)`
`(1)<=>x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz`
`<=>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz>=0`
`<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>=0` (Hiển nhiên đúng)
Vậy BĐT Được chứng minh.
Dấu "`=`" xảy ra khi : `a=b=c`
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc^2a}{ab}}=2c$
Tương tự, $\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a; \dfrac{bc}{a}+\dfrac{ab}{c}\ge2b$
Do đó ta có được:
$2\bigg(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\bigg)\ge2(a+b+c)$
Hay $\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$
$\color{SkyBlue}{@Lighth}$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
- Đề thi học kì 2 môn địa 8 có lời giải chi tiết
- Đề thi học kì 2 môn địa 8 có lời giải chi tiết
- Đề thi học kì 2 môn địa 8 có lời giải chi tiết giúp các em luyện tập và củng cố kiến thức hiệu quả
- Kiểm tra 15 phút lần 1 học kì 1 - đề số 5 Địa 8 có lời giải chi tiết
- Kiểm tra 15 phút lần 1 học kì 1 - đề số 4 Địa 8 có lời giải chi tiết
