Cho A (2, -1, 3), B(4,0,1), C( -10, 5,3 ) tìm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA^2 + MB^2 - 3MC^2 lớn nhất

Đáp án:

\(M\left( { - 36;16;0} \right)\).

Giải thích các bước giải:

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\)  là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - 3\overrightarrow {IC}  = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA}  = \left( {2 - x; - 1 - y;3 - z} \right)\\\overrightarrow {IB}  = \left( {4 - x; - y;1 - z} \right)\\\overrightarrow {IC}  = \left( { - 10 - x;5 - y;3 - z} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x + 4 - x - 3\left( { - 10 - x} \right) = 0\\ - 1 - y - y - 3\left( {5 - y} \right) = 0\\3 - z + 1 - z - 3\left( {3 - z} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 36 = 0\\y - 16 = 0\\z + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 36\\y = 16\\z =  - 13\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow I\left( { - 36;16; - 13} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,M{A^2} + M{B^2} - 3M{C^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ =  - M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - 3\overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - 3I{C^2}\\ =  - M{I^2} + \left( {I{A^2} + I{B^2} - 3I{C^2}} \right)\end{array}\)

Do \(I{A^2} + I{B^2} - 3I{C^2} = const\) nên \(M{A^2} + M{B^2} - 3M{C^2}\) lớn nhất khi và chỉ khi \( - M{I^2}\) lớn nhất.

\( \Rightarrow M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Rightarrow MI\) nhỏ nhất.

\( \Rightarrow M\) là hình chiếu của I trên \(\left( {Oxy} \right)\).

Vậy \(M\left( { - 36;16;0} \right)\).