Cho 3 số thực dương 0 < a, b, c ≤ 1 và $a\sqrt{1-b^2}$ + $b\sqrt{1-c^2}$ + $c\sqrt{1-a^2}$ = $\frac{3}{2}$ Tính $a^2$ + $b^2$ + $c^2$

Đáp án:

`a^2+b^2+c^2=3/2`

Giải thích các bước giải:

Có : `0<a,b,c≤1`

`⇒` `1-a^2≥0` ; `1-b^2≥0` ; `1-c^2≥0`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được :

`a\sqrt[1-b^2]+b\sqrt[1-c^2]+c\sqrt[1-a^2]≤{a^2+1-b^2}/2+{b^2+1-c}/2+{c^2+1-a}/2=2`

Dấu `=` xảy ra 

`⇔` `a=1\sqrt[1-b^2]` ; `b=1\sqrt[1-c^2]` ; `c=1\sqrt[1-a^2]` 

`⇔` `a^2=1-b^2` ; `b^2=1-c^2` ; `c^2=1-a^2`

`⇒` `a^2+b^2+c^2=1-b^2+1-c^2+1-a^2`

`⇒` `a^2+b^2+c^2=3-b^2-c^2-a^2`

`⇒` `a^2+b^2+c^2+b^2+c^2+a^2=3`

`⇔` `2a^2+2b^2+2c^2=3`

`⇔` `2(a^2+b^2+c^2)=3`

`⇔` `a^2+b^2+c^2=3/2`