cho 2 số thực x ,y thỏa mãn x^2+y^2=1. GTLN và GTNN của biểu thức P=( 2y^2 +2xy+x^2 )/ (3y^2+2xy+x^2 )

Đáp án:

`P = (2y^2 + 2xy + x^2)/(3y^2 + 2xy + x^2)`

$=> P(3y^2 + 2xy + x^2) = 2y^2 + 2xy + x^2$

$=> (P - 1)x^2 + (2P - 2)xy + (3P - 2)y^2  = 0$

$Δ' >= 0 ⇔ [(P - 1)y]^2 - (P - 1)(3P - 2)y^2 >= 0$

$⇔ y^2[(P - 1)^2 - (P - 1)(3P - 2)] >= 0$

$⇔ y^2(1 - P)(2P - 1) >= 0$

$⇔ 1/2 <= P <= 1$

Vậy $P_{Min} = 1/2 <=>$ `(x;y) in {(-1/\sqrt{2} ; 1/\sqrt{2}) ; (1/\sqrt{2} ; -1/\sqrt{2})}`

       $P_{Max} = 1 <=>$ `y = 0 ; x = +- 1`

Giải thích các bước giải:

Đáp án:Mình thấy bài này khá căn bản.

Giải thích các bước giải:

 Đặt `(2y^2+2xy+x^2)/(3y^2+2xy+x^2)=a`

`<=>2y^2+2xy+x^2=3ay^2+2axy+ax^2`

`<=>x^2(a-1)+2xy(a-1)+y^2(3a-2)=0`

Để tìm `min,max` ta đặt `\Delta'=0`

`=>(a-1)^2-(a-1)(3a-2)=0`

`<=>(a-1)(a-1-3a+2)=0`

`<=>(a-1)(1-2a)=0`

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}a=1\\a=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) 

`=>Max_P=1,min_P=1/2`.

`**Max`:

Xét `P-1`

`<=>P-1=(2y^2+2xy+x^2-3y^2-2xy-x^2)/(3y^2+2xy+x^2)`

`<=>P-1=(-y^2)/(3(y+1/3x)^2+2/3x^2)<=0AAx,y in RR`

`=>P<=1`

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}y=0\\x^2+y^2=1\\\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}y=0\\x=1\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\x=-1\\\end{cases}\end{array} \right.\) 

`**min:`

Xét `P-1/2`

`<=>P-1/2=(4y^2+4xy+2x^2-3y^2-2xy-x^2)/(2(3y^2+2xy+x^2))`

`<=>P-1/2=(y^2+2xy+x^2)/(2[3(y+1/3x)^2+2/3x^2])`

`<=>P-1/2=(y+x)^2/(2[3(y+1/3x)^2+2/3x^2])>=0AA x,y in RR`

`=>P>=1/2`

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x=-y\\x^2+y^2=1\\\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\end{cases}\\\begin{cases}y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\end{cases}\end{array} \right.\)