cho 2 đường thẳng (d1) căn3x+y=0 và d2 căn3x-y=0. Gọi C là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A , cắt d2 tại hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông tại B.Biết tam giác ABC có diện tích là căn3/2 và điểm A có hoành độ dương.Tọa độ tâm I của đường tròn là

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\) \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt 3 + 1.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {3 + 1} .\sqrt {3 + 1} }} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {{d_1},{d_2}} \right)} = {60^0}\) và dễ thấy \({d_1} \cap {d_2} = O\left( {0;0} \right)\). Dựng hình. \(\begin{array}{l}IA = IB = IC = R\\ \Rightarrow AB = R \Rightarrow BC = R\sqrt 3 \\ \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}R.R\sqrt 3 \Rightarrow R = 1\\ \Rightarrow OA = \frac{{AB}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\), Gọi \(A\left( {t; - \sqrt 3 t} \right) \in {d_1},t > 0\) . khi đó \(OA = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \sqrt {{t^2} + 3{t^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow A\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; - 1} \right)\) Đường thẳng \(AI\) đi qua \(A\) và vuông góc \({d_1}\) nên \(\overrightarrow {{n_{AI}}} = \overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\) \( \Rightarrow AI:1\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) - \sqrt 3 \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - \sqrt 3 y - \frac{4}{{\sqrt 3 }} = 0\) \( \Rightarrow I\left( {\sqrt 3 a + \frac{4}{{\sqrt 3 }};a} \right)\) Mà \(AI = R = 1 \Rightarrow A{I^2} = 1\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 a + \frac{4}{{\sqrt 3 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {a + 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 3{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {a + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 1 = \frac{1}{2}\\a + 1 = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2} \Rightarrow I\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{6}; - \frac{1}{2}} \right)\\a = - \frac{3}{2} \Rightarrow I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{2}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)