Cho 2 đường thẳng Ax, By chéo nhau. CD thay đổi lần lượt trên Ax, By sao cho $\frac{1}{AC}$ + $\frac{2}{BD}$ = $\frac{3}{AB}$ . Mặt phẳng P chứa CD và song song với AB. Chững minh rằng mặt phẳng P luôn đi qua 1 điểm cố định

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Vẽ đường thẳng $Bz//Ax$ . Đặt $: AB = 3a $( không đổi).

Trên $By; Bz $ lần lượt lấy $M; N$ sao cho $BM = 2a; BN = a$

Trong mặt phẳng $(Byz)$ vẽ hình bình hành $BMQN$

Ta sẽ chứng minh $(P)$ luôn đi qua $Q$ (cố định)

Gọi $ C = (P)∩Ax; D = (P)∩By; E = (P)∩Bz $

$(P)//AB ⇒ CE//AB ⇒ BE  = AC$

Theo GT $: \dfrac{1}{AC} + \dfrac{2}{BD} = \dfrac{3}{AB} ⇔ \dfrac{1}{BE} + \dfrac{2}{BD} = \dfrac{3}{3a}$

$ ⇔ \dfrac{a}{BE} + \dfrac{2a}{BD} = 1 ⇔ \dfrac{BN}{BE} + \dfrac{BM}{BD} = 1$

$ ⇔\dfrac{BN}{BE} = 1 - \dfrac{BM}{BD} ⇔ \dfrac{MQ}{BE} = \dfrac{MD}{BD} $

$ ⇒ D; Q; E$ thằng hàng $ ⇒ Q ∈ DE ⊂ (P) (đpcm)$