Cho 1 ví dụ về dạng toán đồng dư và giải bài đấy (dễ thôi nhá)

Chuyên đề ĐỒNG DƯ THỨCMôn: SỐ HỌC 6

Tóm tắt các kiến thức cơ bản :

I/Định nghĩa : Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi đồng với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m ( a - b )| m hay m\(a - b) Ký hiệu : a ≡ b (mod m) được gọi là một đồng dư thức.Ví dụ : 3 ≡ - 1 (mod 4) 5 ≡ 17 (mod 6)18 ≡ 0 (mod 6)Điều kiện a ≡ 0 (mod m) có nghĩa là a là bội của m, k/h: a  m (a | m) hay m là ước của a ( m \ a) .Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b (mod m)II/ Các tính chất cơ bản :1) Với mọi số nguyên a, ta có a ≡ a (mod m)2) a ≡ b (mod m) => b ≡ a (mod m)3) a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod4) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a + c ≡ b + d (mod m)Hệ quả : a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m) => a1 + a2 + a3 + ... + an ≡ b1 + b2 + b3 + ... + bn(mod m) 5) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a.c ≡ b.d (mod m)Hệ quả : a) a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m) => a1.a2.a3. ... .an ≡ b1.b2.b3. ... .bn(mod m) b) a ≡ b (mod m) => an ≡ bn (mod m) - với mọi n ∈ N+Nhận xét : a) * a ≡ 1 (mod 2) và b ≡ 1 (mod 2) => a + b ≡ 2 (mod 2)Mà 2 ≡ 0 (mod 2) => a + b ≡ 0 (mod 2) * a ≡ 1 (mod 2) và b ≡ 1 (mod 2) => a.b ≡ 1(mod 2)Điều này có nghĩa : Tổng của hai số lẻ là một số chẵn, tích của hai số lẻ là một số lẻ.b)a ≡ 3 (mod 7) => a2 ≡ 9 (mod 7) ≡ 2 (mod 2)Điều này có nghĩa : Nếu một số chia 7 dư 3 thì bình phương số đó chia 7 dư 2.Chú ý : a)Không được chia hai vế của một đồng dư thức .Ví dụ : * 2 ≡ 12 (mod 10) nhưng 1 ≡ 6 (mod 10).1 b) a ≡ 0 (mod m) và b ≡ 0 (mod m), nhưng a.b có thể đồng dư với 0 theo module m.Ví dụ : 2 ≡ 0 (mod 10) và 5 ≡ 0 (mod 10), nhưng 2.5 = 10 ≡ 10 (mod 10).Như vậy để phép chia hai vế của đồng thức đòi hỏi phải kèm theo một số điều kiện .6) Nếu a ≡ b (mod m) và d là ước chung của a, b sao cho (d, m) = 1 thì : a : d ≡ b : d (mod m) ( ≡ (mod m) )7)Nếu a ≡ b (mod m) và d là số nguyên là ước chung của ba số a, b, m thì ≡ (mod )B/Áp dụng :Dạng 1 : Tìm số dư của phép chiaBài 1 : Tìm số dư trong phép chia 20042004 cho 11Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11 : Một số được gọi là chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa các tổng chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn kể từ trái sang phải chia hết cho 11.Ví dụ : Xét xem số 5016 có chia hết cho 11 ?Ta có (5 + 1) - (0 + 6) = 0. Vì 0  11 = > 5016  11Giải :Ta có 2002  11 => 2004 - 2  11 => 2004 ≡ 2 (mod 11) => 20042004 ≡ 22004 (mod 11) , mà 210 ≡ 1 (mod 11) (vì 1024 - 1  11) => 20042004 = 24.22000 = 24.(210)200 ≡ 24 ≡ 5 (mod 11) Vậy 20042004 chia 11 dư 5.Bài 2 : Tìm số dư khi chia A = 19442005 cho 7Giải :Ta có : 1944 ≡ -2 (mod 7) => 19442005 ≡ (-2)2005 (mod 7) Mà (-2)3 ≡ - 1 (mod 7) => (-23)668 ≡ 1668 (mod 7) hay (-23)668 ≡ 1 (mod 7) => (-23)668.(-2) ≡ - 2 (mod 7) hay (-2)2005 ≡ - 2 (mod 7) Vậy 19442005 cho 7 dư 5.Bài 3: Tìm số dư khi chia 1003 cho 7GiảiTa có: ( )16100 4 96 4 63 3 .3 3 . 3= =Ta thấy: ( )4 43 81 7.11 4 3 4 mod7= = + ⇒ ≡ (1)( )( )( )( )( )6 616 166 6 63 729 7.104 1 3 1 mod73 1 mod 7 3 1 mod 7= = + ⇒ ≡⇒ ≡ ⇒ ≡ (2)2 Từ (1) và (2) ( )( ) ( )164 6 1003 . 3 4.1 mod7 3 4 mod7⇒ ≡ ⇒ ≡Vậy 1003chia cho 7 dư 4.* Cách 2: ( )32100 4 96 4 33 3 .3 3 . 3= = + ( )43 81 4 mod 7= ≡ (1)+ ( )33 27 6 mod 7= ≡ mà ( ) ( )6 1 mod 7≡ −( ) ( )33 1 mod7⇒ ≡ −Do đó, ( )( ) ( )( )( )32 32323 33 1 mod7 3 1 mod7⇒ ≡ − ⇒ ≡ (2)Từ (1) và (2) ( )( ) ( )324 2 1003 . 3 4.1 mod7 3 4 mod7⇒ ≡ ⇒ ≡Vậy 1003chia cho 7 dư 4.Bài 4 : CMR các số A = 61000 - 1 và B = 61001 + 1 đều là bội số của 7Giải :Ta có 6 ≡ - 1 (mod 7) => 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61000 - 1  7Vậy A là bội của 7Từ 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61001 ≡ 6 (mod 7) , mà 6 ≡ - 1 (mod 7)=> 61001 ≡ -1 (mod 7) => 61001 + 1  7Vậy B là bội của 7Bài 5: Tìm số dư khi chia tổng 100 1053 3+cho 13Giải* Tìm số dư khi chia 1003 cho 13: là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 13, đồng dư với 1003 theo modun 13Ta có: ( )32100 4 96 4 33 3 .3 3 . 3= =+) ( )4 43 81 13.6 3 3 3 mod13= = + ⇒ ≡ (1)+) ( )3 33 27 13.2 1 3 1 mod13= = + ⇒ ≡( )( )( )( )32 323 32 33 1 mod13 3 1 mod13⇒ ≡ ⇒ ≡ (2)Từ (1) và (2) ( )( ) ( )324 3 1003 . 3 3.1 mod13 3 3 mod13⇒ ≡ ⇒ ≡ (1)Mặt khác: ( )35105 33 3=Mà ( )( )( )353 3 353 27 1 mod13 3 1 mod13= ≡ ⇒ ≡ Hay ( )1053 1 mod13≡ (2)Từ (1) và (2) ( ) ( )100 105 100 1053 3 3 1 mod13 3 3 4 mod13⇒ + ≡ + ⇒ + ≡Vậy tổng 100 1053 3+chia cho 13 dư 4