Câu 45: Một nhóm học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B và 1 học sinh lớp 12C. Xếp ngẫu nhiên nhóm đó thành một hàng ngang. Xác suất để không có em học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau bằng ? A. 1/5 B. 2/5 C. 1/4 D. 3/10

Đáp án: $B$

Giải thích các bước giải:

Xếp $5$ em thành một hàng ngang có $5!$ cách xếp

Gọi học sinh lớp $12a$ đứng ở vị trí $A,$ học sinh lớp $12B$ đứng ở vị trí $B,$ học sinh lớp $12C$  đứng ở vị trí $C$

Trường hợp 1: 3 học sinh xếp trước  có dạng $AAC$

$\to$ Xếp 2 học sinh lớp $12B$, để không có em học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau ta phải xếp 1 em lớp $12B$ vào giữa 2 em lớp $12a\to$ ta được hàng có dạng $ABAC$

Xếp tiếp 1 em còn lại ta được $3$ cách xếp để không có em nào cùng lớp đứng cạnh nhau

$\to$ Có tất cả $3\cdot2!=6$ cách xếp 

Trường hợp 2: 3 học sinh xếp trước  có dạng $ACA$

$\to$ Số cách xếp $2$ em lớp $12B$ thỏa mãn đề là : $2!\cdot C^2_4 =12$ cách

Trường hợp 3: 3 học sinh xếp trước  có dạng $CAA$

Tương tự trường hợp 1 có $6$ cách

$\to$Số cách xếp thỏa mãn đề là : $2!(6+12+6)=48$

$\to$Xác suất để không có em học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau bằng : $\dfrac{48}{5!}=\dfrac25$