Câu 30: Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10 cm và độ dài đường sinh là 8 cm. Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đường kính lớn nhất của viên kẹo là $\dfrac{10\sqrt{39}}{13}$

Giải thích các bước giải:

Gọi h là chiều cao hình nón, r là bán kính đáy hình nón, R là bán kính viên kẹo

$\to r=5, l=\sqrt{h^2+r^2}=8\to h=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}$

Gọi $SAB$ là thiết diện của hình nón, AB là đường kính của đáy

Để đường kính viên kẹo là lớn nhất  $\to $Viên kẹo phải tiếp xúc trong với các cạnh của $\Delta SAB$

$\to I$ là tâm của viên kẹo đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta SAB$

Xét $\Delta SEI$ và $\Delta SOA$ có:

$\widehat{ESI}=\widehat{OSA}$ (là 1 góc)

$\widehat{SEI}=\widehat{SOA}=90^o$

$\Rightarrow \Delta SEI\sim\Delta SOA$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{SI}{SA}=\dfrac{EI}{OA}\Rightarrow\dfrac{SO-IO}{SA}=\dfrac{EI}{OA}$ (và có IO=IE)

$\Rightarrow EI.8=5(\sqrt{39}-EI)$

$\to EI=\dfrac{5\sqrt{39}}{13}$

$\to$ Đường kính lớn nhất của viên kẹo là $\dfrac{10\sqrt{39}}{13}$.