(C): y=2x^3-9x^2+12x-4 Biện luận theo m số nghiệm của pt 2|x|^3-9|x|^2+12|x|=m

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y'=6x^2-18x+12$

$\to y'=0$

$\to 6x^2-18x+12=0$

$\to x^2-3x+2=0$

$\to (x-1)(x-2)=0$

$\to x\in\{1,2\}$ 

$\to $Hàm số nghịch biến khi $1<x<2$ và đồng biến trên các khoảng còn lại

Vẽ bảng biến thiên (có dạng như đồ thị)

Ta có:

$f(x)=2|x|^3-9|x|^2+12|x|-4$ là đồ thị được tạo bởi đồ thị hàm số $y=2x^{3}-9x^{2}+12x-4$ bằng các lấy đối xứng phần đồ thị $x>0$ qua trục $Oy$ (như hình vẽ)

$\to $Để phương trình $2|x|^3-9|x|^2+12|x|=m$ có nghiệm

$\to 2|x|^3-9|x|^2+12|x|-4=m-4$ có nghiệm

$\to f(x)=m-4$

Dựa vào đồ thị thấy:

$m-4<-4\to m<0\to$Phương trình vô nghiệm

$m-4=-4\to m=0\to$Phương trình có nghiệm duy nhất

$-4<m-4<0\to 0<m<4\to $Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt

$m-4=0\to m=4\to$Phương trình có $4$ nghiệm phân biệt

$0<m-4<1\to 4<m<5\to$Phương trình có $6$ nghiệm phân biệt

$m-4=1\to m=5\to$Phương trình có $4$ nghiệm phân biệt

$1<m-4\to 5<m\to$Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt