Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ax^3 +bx^2 +3x +10 tại điểm A(1;3) vuông góc với đường thẳng x+4y-2020=0. Tính a-b+5

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + 3x + 10\\
 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + 3
\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x=1 là:

\[d:\,\,\,y = f'\left( 1 \right)\left( {x - a} \right) + f\left( 1 \right)\]

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng \(x + 4y - 2020 = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{4}x + 505\) nên \(f'\left( 1 \right) =  - \frac{1}{4}\)

Đồ thị hàm số đi qua A(1;3) nên ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f'\left( 1 \right) =  - \frac{1}{4}\\
f\left( 1 \right) = 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a + 2b + 3 =  - \frac{1}{4}\\
a + b + 3 + 10 = 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{67}}{4}\\
b =  - \frac{{107}}{4}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow a - b + 5 = \frac{{97}}{2}
\end{array}\)