Biết $\int\limits^1_0 {\frac{x^3}{x+\sqrt[]{1+x^2}}} \, dx$ = $\frac{a\sqrt[]{b}+c}{5}$ với a,b,c là các số nguyên và b>=0. Tính P=a+b^2-c Giúp mk cái ạ

Trục căn thức ta có 

$I = \displaystyle \int_0^1 x^3(x - \sqrt{1 + x^2})dx$

$= \displaystyle \int_0^1 x^4dx - \displaystyle \int_0^1 x^3\sqrt{1 + x^2}dx$

$= \dfrac{x^5}{5}\Bigg\vert_0^1 - \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_0^1 x^2 \sqrt{1 + x^2}d(x^2)$

$= \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_0^1 x^2 \sqrt{1 + x^2}d(x^2)$

Ta tính 

$J = \displaystyle \int_0^1 x^2 \sqrt{x^2+1} d(x^2)$

Đặt $u = x^2$. KHi đó cận sẽ đi từ 0 đến 1.

$J = \displaystyle \int_0^1u \sqrt{u + 1} du$

$= \dfrac{2}{3} \displaystyle \int_0^1u d(\sqrt{(u+1)^3})$

$= \dfrac{2}{3} u\sqrt{(u+1)^3}\Bigg\vert_0^1 - \dfrac{2}{3} \displaystyle \int_0^1 \sqrt{(u+1)^3}du$

$= \dfrac{2}{3} .2\sqrt{2} - \dfrac{2}{3} . \dfrac{2}{5} \sqrt{(u+1)^5}\Bigg\vert_0^1$

$= \dfrac{4\sqrt{2}}{3} - \dfrac{4}{15} . 4\sqrt{2} + \dfrac{4}{15}$

$= \dfrac{4\sqrt{2}+4}{15}$

Vạy ta có

$I = \dfrac{1}{5} - 2J = \dfrac{1}{5} - \dfrac{2\sqrt{2} + 2}{15} = \dfrac{-2\sqrt{2}+1}{15}$

Vậy $a = -2, b = 2, c = 1$

Suy ra

$P = a+b^2 -c = -2 + 4 - 1 = 1$