biết F(x) lả một nguyên hàm của$ f(x)=$ $\frac{1-sin^3x}{sin^2x}$ và $ F($$\frac{\pi}{4})$ =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ có bao nhiêu só thực x thuộc (0;2018$\pi$ ) để $F(x) =1 $.

Đáp án:

$2018$ nghiệm

Giải thích các bước giải:

$\quad F(x)=\displaystyle\int f(x)dx$

$\to F(x)= \displaystyle\int\dfrac{1-\sin^3x}{\sin^2x}dx$

$\to F(x)= \displaystyle\int\dfrac{dx}{\sin^2x} -\displaystyle\int\sin xdx$

$\to F(x)= -\cot x +\cos x + C$

Ta lại có:

$\quad F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)= \dfrac{\sqrt2}{2}$

$\to -\cot\dfrac{\pi}{4} +\cos\dfrac{\pi}{4} + C =\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\to C = 1$

Ta được:

$\quad F(x)= -\cot x + \cos x + 1$

Ta có:

$\quad F(x)= 1$

$\to \cos x -\cot x = 0$

$\to \sin x\cos x -\cos x = 0$

$\to \cos x(\sin x -1)=0$

$\to \left[\begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = 1\end{array}\right.$

$\to \left[\begin{array}{l}x =\dfrac{\pi}{2} + \pi\\x =\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right.$

$\to x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\quad (k\in\Bbb Z)$

Mặt khác: $0< x < 2018\pi$

$\to 0 < \dfrac{\pi}{2} + k\pi< 2018\pi$

$\to -\dfrac12 < k < 2018 -\dfrac12$

$\to k \in \underbrace{\{0;1;2;\dots;2016;2017\}}_{\text{2018 giá trị k}}$

$\to 2018$ nghiệm